biến đổi Fourier và cơ chế lượng tử

Cơ chế lượng tử
psi(x) là hàm số của mỗi điểm x trong không gian: kết quả nhìn chung sẽ là một số phức, cho biết xác suất của nơi ta sẽ tìm thấy hạt khi ta đo lường vị trí của nó
ví dụ: xác suất tìm được hạt ở vị trí x bên trong một cơ hội có chiều rộng dx sẽ bằng bình phương của psi nhân với dx
động lượng của hàm sóng psi sẽ được miêu tả bởi toán tử P thực hiện lên hàm số bằng cách lấy đạo hàm d trên dx nhân với một nhân tử là hằng số Planck trên số ảo i
hằng số Planck ký hiệu h đội dấu ngang
nhìn chung, hàm sóng psi sẽ là số phức

Hạt trên trục x
một hạt của cơ chế lượng tử sẽ nằm trên một đường tròn đường kính r thay vì một đường thẳng vô hạn, vậy nên khi hạt di chuyển trên đường tròn một quãng đường 2pi thì hạt sẽ quay trở về điểm xuất phát, tức là toạ độ x và toạ độ x + 2pi là cùng một điểm trên đường tròn
trong khuôn khổ của cơ chế lượng tử, tức là hàm sóng sẽ lấy cùng giá trị ở x và x + 2pi
ví dụ psi(x) = x sẽ không được vì nếu tăng toạ độ x thêm 2pi sẽ không trả về cùng giá trị psi(x)
nhưng nếu psi(x) = cos x/r thì thoả mãn
vậy là nếu muốn một hạt nằm trên một đường tròn thì hàm sóng sẽ phải là hàm tuần hoàn sẽ lặp lại trong khoảng 2piR
ở những điều kiện chung, có thể mở rộng hàm sóng là một tổng các sin và cos, sử dụng chuỗi fourier

Chuỗi fourier có thể mở rộng gần như bất cứ hàm tuần hoàn nào thành tổng sin cos
ví dụ một hàm sóng cho một hạt được địa phương hoá trong một cửa sổ bên trong khoảng này, hàm psi là một hằng số, cho nên hạt sẽ có cơ hội bằng nhau được tìm thấy bất cứ đâu bên trong cửa sổ, và bên ngoài cửa sổ thì hàm psi sẽ bằng 0 tức là không có cơ hội tìm thấy hạt
ta làm hàm sóng này là hàm tuần hoàn bằng cách yêu cầu hàm lặp đi lặp lại, và rồi ta viết chuỗi fourier